เซต
เซต เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น
เซตสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุ่มของอังกฤษ a, e, i, o และ u
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9
สิ่งที่ในเชตเรียกว่า สมาชิก ( element หรือ members )
การเขียนเซต
การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ
1 การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}
เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }
2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร เช่น
{x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ
{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต เช่น
{ 1,2,3,...,10 } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต
สัญลักษณ์แทนเซต
ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น
A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }
สมาชิกของเซต
จะใช้สัญลักษณ์ “ € ” แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน เช่น
A = {1,2,3,4}
จะได้ว่า 1 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 1 €A
3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3€ A
คำว่า “ม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขียนด้วยสํญลักษณ์ “ € ” เช่น
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A
7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 7€A
สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4
ตัอย่างที่ 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
2.ซตของจำนวนเมลบ
3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย
วิธีทำ 1.ให้ A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
A = { สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }
2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ
B = {-1,-2,-3,…}
3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย
C = {ก,ข,ค,…,ฮ}
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข
1. A = {2,4,6,8,10}
2. B = {1,3,5,7}
วิธีทำ 1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }
2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }
เซตว่าง
คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))
ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่
A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}
เซตจำกัด
คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์
ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่
A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11
B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4
C = {1,2,…,8}
เซตอนันต์
คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย นับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่
A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
B = {x| x 3,7,11,15,…}
C = {1,2,3,…}
ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต
1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด
2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}
3. เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป มีดังนี้
I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...}
I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}
I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}
N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}
P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}
เซตที่เท่ากัน
เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB
ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}
ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
คัวอย่างที่ 2 กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทำ A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}
จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B
2.2เอกภพสัมพัทธ์
ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะต้องกำหนดเซตของ เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }
จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ U = {ก,ข,ค,...,ฮ}
ดังนั้น A = {ก,ข,ค}
ตัวอย่างที่ 2 U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ U = {1,2,3,…}
ดังนั้น B = {1,2,3,4}
2.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น
A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}
จะได้ว่า A B แต่ B A
สมบัติของสับเซต
1. A A และ A
2. ถ้าAB และ BC แล้วAC
3. ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B
เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)
เช่น A= {2,4,6}
จะไดว่า เพาเวอร์เซตของซต A คือ
P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}
สมบัติของเพาเวอร์เซต
1. P(A) และ P(A)
2.A P(A)
3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด n(A)= k n(P(A))= 2
4.A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
5.P(A) P(B) = P(A B)
6.P(A) P(B) P(A B
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความเกี่ยวข้องกับเซต เพื่ช่วยในการคำนวณหรือแก้ไขปัญหา มีวิธีการเขียนดังนี้ ให้เอกภพสัมพัทธ์ U แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซตA,B,C… ซึ่งเป็นสับเซตของ U แทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ โดยให้เซต A,B,C… อยู่ใน U
ตัวอย่างที่ 1 U ={1,2,3…} , A = {1,2,3,4,5} , B = {2,4,6,8}
จงเขียนแผนภาพของเวน์-ออยเลอร์
วิธีทำ เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกันคือ 2 และ 4 เขียนแผนภาพ แทนเซต A และ B ได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 2 U = {a,b,c,…,z} , A={a,b,c,d} , B = {e,f,g} และ C = {h,i,j,k}
จงเขียนแผนภาพเวนน์- อยยเลอร์
วิธีทำ เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แทน A,B และC ได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 3 U ={x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 20 }, A = {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 } และ B = {x| x เป็นจำนวนคี่ที่น้อยกว่า 7 }
จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
วิธีทำ U ={1,2,3,…,19} , A = {1,2,3,,…,9}, B = {1,3,5}
2.4 ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต
- ยูเนียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซต
“ ยูเนียนของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”
| A B = {x| x A หรือ x เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต} |
เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}
จะได้ A B ={1,3,5,6,9}
- อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B
“ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”
| A B = {x| x A และ x B} |
เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}
จะได้ A B = {2,4}
A C = {1}
B C = {}
- คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A
“คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”
| A = {x| x € U และ x € A } |
เช่น U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}
จะได้ A = {1,3}
B = {0,2}
- ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets ) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B
“ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B ”
| A-B ={x| x € A และ x € B} |
เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}
B-A = {5,7,9}
จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด
จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต A ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)
การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ทำได้โดย
- การนับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์
- การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้
ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจำกัด
- n(A B) = n(A) +n(B) – n(A B)
- n(A B) = n(A) +n(B)+ n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)
