วันจันทร์ที่ 16 ธันวาคม พ.ศ. 2556

เซต
เซต  เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น
       เซตสระในภาษาอังกฤษ  หมายถึง  กลุ่มของอังกฤษ  a, e, i, o และ u
       เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง  กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9
        สิ่งที่ในเชตเรียกว่า  สมาชิก  ( element หรือ members )
การเขียนเซต
การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2  แบบ
   1 การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก  เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น
        เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}
        เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }
2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข  ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น
        {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ
        {x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี อ่านว่า เซตของ xโดยที่ เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่
         ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น
        1,2,3,...,10 }  สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
        วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต




สัญลักษณ์แทนเซต 
ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,เช่น
        A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }
สมาชิกของเซต
จะใช้สัญลักษณ์   €   แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน  เช่น
A = {1,2,3,4}
จะได้ว่า  1   เป็นสมาชิกของ  A หรืออยู่ใน เขียนแทนด้วย  1  €A
               3   เป็นสมาชิกของ  A  หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  3€ A
คำว่า ม่เป็นสมาชิก หรือ ไม่อยู่ใน  เขียนด้วยสํญลักษณ์   € ”  เช่น
               5  ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน เขียนแทน 5€A
               7 ไม่เป็นสมชิกชอง หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย  7€A
สำหรับเซต ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต นั่นคือ n(A= 4
ตัอย่างที่ 1   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
                    1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
                    2.ซตของจำนวนเมลบ
                    3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย
วิธีทำ           1.ให้  A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
                    A = {  สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }
                    2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ
                    B = {-1,-2,-3,…}
                    3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย
                    C = {ก,ข,ค,,ฮ}



ตัวอย่างที่ 2   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข
                     1. A = {2,4,6,8,10}
                     2. B = {1,3,5,7}
วิธีทำ            1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }
                     2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }
เซตว่าง
คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))
ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่
         A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย ”}
เซตจำกัด
คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์
ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่
         A = {0,2,4,,10} n(A) = 11
         B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า เซตว่าง }n) =  4
         C = {1,2,,8}
เซตอนันต์
คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่
         A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
         B = {x| x 3,7,11,15,…}
         C = {1,2,3,…}
ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต
1.            เซตว่างเป็นเซตจำกัด
2.            การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}
3.   เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้
       

เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...}
เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}
เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}
เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {123,…}
เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 27,…}
เซตที่เท่ากัน
เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต เขียนแทนด้วย A = B
และเซตไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต เขียนแทนด้วย AB
ตัวอย่างที่  1    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}
                       ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B
คัวอย่างที่  2   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} B ={2,1,2,4,5,6}C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
     วิธีทำ      A = {1,1,2,4,5,6}B ={2,1,2,4,5,6}
                   จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
                    แต่ AC BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B
2.2เอกภพสัมพัทธ์
ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก  จะต้องกำหนดเซตของ  เอกภพสัมพัทธ์  เขียนแทนด้วย โดยมีข้อตกลงว่า  เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }
จงเขียนเซต A  แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ           U = {ก,ข,ค,...,ฮ}


ดังนั้น   A = {ก,ข,ค}
ตัวอย่างที่ 2  U = {1,2,3,…} B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 จงเขียน แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ         U = {1,2,3,…}
       ดังนั้น       B = {1,2,3,4}  
2.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต
เซต A เป็นสับเซตของเซต ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกทุกตัวของ เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต เขียนแทนด้วย AB เช่น
A = {3,5และ B = {1,3,5,7,9}
จะได้ว่า  A     B แต่ B  A
สมบัติของสับเซต
1.            A  A และ   A
2.            ถ้าAB และ BC แล้วAC
3.            ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B
เพาเวอร์เซต
          เพาเวอร์เซตของเซต คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)
เช่น A= {2,4,6}
จะไดว่า เพาเวอร์เซตของซต คือ
P(A= { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}
สมบัติของเพาเวอร์เซต
1.        P(A) และ        P(A)
2.A   P(A) 
3.ถ้า เป็นเซตจำกัด n(A)= k  n(P(A))= 2
4.A   B ก็ต่อเมื่อ P(A)      P(B)
5.P(A)   P(B= P(A   B)
6.P(A)   P(B)    P(A   B
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์    
เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความเกี่ยวข้องกับเซต  เพื่ช่วยในการคำนวณหรือแก้ไขปัญหา  มีวิธีการเขียนดังนี้   ให้เอกภพสัมพัทธ์   U  แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า   เซตA,B,C… ซึ่งเป็นสับเซตของ U  แทนด้วยวงกลม  วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ  โดยให้เซต A,B,C… อยู่ใน U
ตัวอย่างที่ 1  U ={1,2,3…} , A  = {1,2,3,4,5} ,  B = {2,4,6,8}
จงเขียนแผนภาพของเวน์-ออยเลอร์
วิธีทำ เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกันคือ 2 และ 4  เขียนแผนภาพ แทนเซต และ ได้ดังนี้ 
ตัวอย่างที่ 2  U = {a,b,c,,z} A={a,b,c,d} , B = {e,f,g} และ C = {h,i,j,k}
จงเขียนแผนภาพเวนน์อยยเลอร์
วิธีทำ    เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์  แทน A,B และได้ดังนี้





       


       

ตัวอย่างที่ 3 U ={x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 20 }A = {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 และ B = {x| x เป็นจำนวนคี่ที่น้อยกว่า 7 }
 จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
วิธีทำ  U ={1,2,3,,19} A = {1,2,3,,,9}B = {1,3,5}
2.4 ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต
ยูเนียน (Unionยูเนียนของเซต และเซต จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต หรือเซต  หรือทั้งสองเซต
   “ ยูเนียนของเซตA และเซต เขียนแทนด้วย A   B ”
A   B = {x| x   A หรือ เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}
เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}
จะได้  A    B ={1,3,5,6,9}
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต และเซต B
   “ อินเตอร์เซกชันของเซตและเซต เขียนแทนด้วย A    B ”
A    B = {x| x   A และ x   B}
เช่น A = {1,2,3,4,B = {2,4,6} และ C = {0,1}
จะได้   A   B = {2,4}
            A   C = {1}
            B   C = {}   
คอมพลีเมนต์ (Complementคอมพลีเมนต์ของเซต คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A
   “คอมพลีเมนต์ของเซต เขียนแทนด้วย A ”
A = {x| x €  U และ x  €  A }
   เช่น  U ={0,1,2,3} A ={0,2,4} และ B = {1,3}
จะได้  A = {1,3}
           B = {0,2}
ผลต่างระหว่างเซต  (Difference of Sets ผลต่างระหว่างเซต และเซต คือสมาชิกอยู่ในเซต B
   “ผลต่างระหว่างเซต และเซต เขียนแทนด้วย A – B ”
A-B ={x| x €  A และ x €   B}
   เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}
จะได้  A-B = {0,2,4}
          B-A = {5,7,9}

จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด
จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต  A  ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)
การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด  ทำได้โดย
-                   การนับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์
-                   การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้
ถ้าเซต เซต และเซต C เป็นเซตจำกัด
      -   n(A   B) = n(A) +n(B– n(A   B)
      -   n(A   B= n(A) +n(B)+ n(C)-n(A  B)-n(A  C)-n(B  C)+n(A   B   C)